Exercícios Sobre Progressão Aritmética [Matemática]

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Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que os termos consecutivos (começando com o segundo termo) são formados pela adição de uma quantidade constante com o termo precedente.

Uma sequência de números é conhecida como uma progressão aritmética (AP) se a diferença do termo e o termo precedente forem sempre iguais ou constantes.

A quantidade constante indicada na definição acima é chamada de diferença comum da progressão. A diferença constante, geralmente denotada por d, é chamada de diferença comum.

uman + 1n+1 – umann = constante (= d) para todos n∈ N

A partir da definição, é claro que uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante. 

A progressão aritmética é usada em toda a matemática e aplicada a problemas de engenharia, ciências, ciências da computação, biologia e finanças. Um conjunto de problemas e exercícios envolvendo sequências aritméticas, juntamente com soluções detalhadas e respostas, são apresentados.

Exemplos de progressão aritmética:

1. -2, 1, 4, 7, 10 ……………. é um AP cujo primeiro termo é -2 e a diferença comum é 1 – (-2) = 1 + 2 = 3.

2. A sequência {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …………………} é uma progressão aritmética cuja diferença comum é 4, uma vez que

Segundo termo (7) = primeiro termo (3) + 4

Termo Terceiro (11) = Segundo Termo (7) + 4

Quarto termo (15) = terceiro termo (11) + 4

Quinto termo (19) = quarto termo (15) + 4 etc.

3. A sequência {58, 43, 28, 13, -2, -17, -32, …………………} é uma progressão aritmética cuja diferença comum é -15, uma vez que

Segundo termo (43) = Primeiro termo (58) + (-15)

Terceiro termo (28) = segundo termo (43) + (-15)

Quarto termo (13) = terceiro termo (28) + (-15)

Quinto termo (-2) = quarto termo (13) + (-15) etc.

4. A sequência {11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, …………………} é uma progressão aritmética cuja diferença comum é 4, uma vez que

Segundo termo (23) = primeiro termo (11) + 12

Terceiro termo (35) = segundo termo (23) + 12

Quarto mandato (47) = terceiro mandato (35) + 12

Quinto termo (59) = quarto termo (47) + 12 etc.

Algoritmo para determinar se uma sequência é uma progressão aritmética ou não quando o seu enésimo termo é dado:

Etapa I: obter umnn

Etapa II: Substitua n por n + 1 em umnn para obter umn + 1n+1.

Etapa III: calcular umn + 1n+1 – umann.

Quando umn + 1n+1 é independente de n então, a sequência dada é uma progressão aritmética. E quando umn + 1n+1 não é independente de n então, a sequência dada não é uma progressão aritmética.

Os exemplos a seguir ilustram o conceito acima:

1.  Mostre que a sequência <ann> definido por umnn= 2n + 3 é uma progressão aritmética. Também bem a diferença comum.

Solução:

A sequência dada ann = 2n + 3

Substituindo n por (n + 1), obtemos

uman + 1n+1 = 2 (n + 1) + 3

uman + 1n+1 = 2n + 2 + 3

uman + 1n+1 = 2n + 5

Agora, umn + 1n+1 – umann = (2n + 5) – (2n + 3) = 2n + 5 – 2n – 3 = 2

Portanto, umn + 1n+1 – umanné independente de n, que  é igual a 2. 

Portanto, a sequência dada  ann = 2n + 3 é uma progressão aritmética com diferença comum 2.

2.  Mostre que a sequência <ann> definido por umnn = 3n22 + 2 não é uma progressão aritmética.

Solução:

A sequência dada ann = 3n22 + 2

Substituindo n por (n + 1), obtemos

uman + 1n+1 = 3 (n + 1)22 + 2

uman + 1n+1 = 3 (n22 + 2n + 1) + 2

uman + 1n+1 = 3n22 + 6n + 3 + 2

uman + 1n+1 = 3n22 + 6n + 5

Agora, umn + 1n+1 – umann = (3n22 + 6n + 5) – (3n22 + 2) = 3n22 + 6n + 5 – 3n22 – 2 = 6n + 3

Portanto, umn + 1n+1 – umann não é independente de n.

Daí  umn + 1n+1 – umann não é constante.

Assim, a sequência dada  ann = 3n22 + 2 não é uma progressão aritmética.

Nota:  Para obter a diferença comum de uma determinada progressão aritmética, é necessário subtrair qualquer termo daquele que o segue. Isso é,

Diferença Comum = Qualquer termo – Seu termo anterior.

Exercícios Sobre Progressão Aritmética

Exercício 1 – O primeiro termo de uma sequência aritmética é igual a 6 e a diferença comum é igual a 3. Encontre uma fórmula para o enésimo termo e o valor do 50º termo.

Solução para o Problema 1: Use o valor da diferença comum d = 3 e o primeiro termo a 1 = 6 na fórmula para o enésimo termo dado acima 
a_n = a_1 + (n – 1) d \ = 6 + 3 (n – 1) \ = 3 n + 3

O 50º termo é encontrado definindo n = 50 na fórmula acima. 
a_ {50} = 3 (50) + 3 = 153

Exercício 2 – O primeiro termo de uma sequência aritmética é igual a 200 e a diferença comum é igual a -10. Encontre o valor do 20º termo.

 
Solução para o Problema 2: Use o valor da diferença comum d = -10 e o primeiro termo a 1= 200 na fórmula para o n-ésimo termo dado acima e então aplique-o no 20º termo 
20 = 200 + (-10) (20 – 1) = 10 

Exercício 3 – Uma sequência aritmética tem uma diferença comum igual a 10 e seu 6º termo é igual a 52. Encontre seu 15º termo. 


Solução para o Problema 3: Usamos a fórmula do enésimo termo para o 6º termo, que é conhecido, para escrever 
um = 52 = a + 10 (6 – 1)

 
A equação acima nos permite calcular um 1 . 
= 2 


Agora que conhecemos o primeiro termo e a diferença comum, usamos a fórmula do n-ésimo termo para encontrar o 15º termo como segue. 
15 = 2 + 10 (15 – 1) = 142 

Exercício 4 – Uma sequência aritmética tem seu 5º termo igual a 22 e seu 15º termo igual a 62. Encontre seu 100º termo. 


Solução para o Problema 4: Usamos a fórmula do nésimo prazo para o 5º e 15º termos para escrever 
um = a + (5 – 1) d = 22 
15 = a + (15 – 1) d = 62 


Obtemos um sistema de 2 equações lineares onde o desconhecido é 1 e d. Subtraia o termo direito e esquerdo das duas equações para obter 
62 – 22 = 14 d – 4 d 
resolva para d. 
d = 4 

Agora use o valor de d em uma das equações para encontrar um 1 . 
+ (5 – 1) 4 = 22 

Resolva para 1 para obter
= 6 

Agora que calculamos um 1 ed usamos na fórmula do n-ésimo termo para encontrar a 100ª fórmula. 
100 = 6 + 4 (100 – 1) = 402

Exercício 5 – Encontre a soma de todos os inteiros de 1 a 1000. 

Solução para o Problema 5: A sequência de inteiros começando de 1 a 1000 é dada por 
1, 2, 3, 4, …, 1000 

A sequência acima tem 1000 termos. O primeiro termo é 1 e o último termo é 1000 e a diferença comum é igual a 1. Temos a fórmula que dá a soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética, conhecendo o primeiro e o último termo da sequência e o número de termos (veja a fórmula acima). 
1000 = 1000 (1 + 1000) / 2 = 500500

Exercício 6 – Encontre a soma dos primeiros 50 inteiros positivos iguais.

 
Solução para o Problema 6: A sequência dos primeiros 50 inteiros positivos iguais é dada por 
2, 4, 6, … 

A sequência acima tem um primeiro termo igual a 2 e uma diferença comum d = 2. Usamos a fórmula do termo n para encontrar o 50º termo 
50 = 2 + 2 (50 – 1) = 100 

Agora, o primeiro termo e último termo e o número de termos na sequência, agora encontramos a soma dos primeiros 50 termos 
50 = 50 (2 + 100) / 2 = 2550

Exercício 7 – Encontre a soma de todos os inteiros positivos, de 5 a 1555 inclusive, que são divisíveis por 5. 


Solução para o Problema 7: Os primeiros poucos termos de uma seqüência de inteiros positivos divisíveis por 5 são dados por 
5, 10, 15,. .. 

A sequência acima tem um primeiro termo igual a 5 e uma diferença comum d = 5. Precisamos saber a classificação do termo 1555. Usamos a fórmula para o enésimo termo como segue 
1555 = a + (n – 1) d 

Substitua a 1 ed por seus valores 
1555 = 5 + 5 (n – 1) 


Resolva para n para obter 
n = 311 

Agora sabemos que 1555 é o 311º termo, podemos usar a fórmula para a soma da seguinte forma 
311 = 311 (5 + 1555) / 2 = 242580 

Exercício 8 – Encontre a soma S definida porS = sum_ {n = 1} ^ {10} (2n + 1/2)

Solução para o Problema 8: Vamos primeiro decompor esta soma da seguinte forma 
S = sum_ {n = 1} ^ {10} (2n + 1/2)
= 2 sum_ {n = 1} ^ {10} n + sum_ {n = 1} ^ {10} (1/2)

O termo n é a soma dos primeiros 10 inteiros positivos. Os 10 primeiros números inteiros positivos fazem uma sequência arirmética com primeiro termo igual a 1, tem n = 10 termos e seu 10º termo é igual a 10. Esta soma é obtida usando a fórmula s n = n (a 1 + a n ) / 2 como segue 
10 (1 + 10) / 2 = 55 

O termo ∑ (1/2) é a adição de um termo constante 10 vezes e é dado por 
10 (1/2) = 5 

A soma S é dada por 
S = 2 (55) + 5 = 115

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