Razão e Proporção [Matemática]

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O Que é Razão Matemática?

A razão matemática é a relação entre dois valores do mesmo tamanho (ou seja, colheradas, objetos, estudantes, colheres, colheres, colheres, colheres, unidades do mesmo tamanho), geralmente expressos como “a/b” e às vezes aritmeticamente representados por um quociente sem dimensão das duas variáveis, que indica explicitamente quantas vezes o primeiro número contém o segundo número (não necessariamente um número inteiro).

Se compararmos duas medidas, dois valores, ou mesmo duas quantidades, determinamos uma relação entre dois números que eles representam. Quando esta relação é determinada por uma divisão, chamamos-lhe razão.

As quantidades que são comparadas por meio de um índice podem ser quantidades físicas, como velocidade, ou podem simplesmente se referir à quantidade de determinados objetos. Um exemplo comum deste último é a relação entre a quantidade de água e a quantidade de cimento utilizada no concreto, que é geralmente de 1:4. Isto significa que a quantidade de cimento utilizada é quatro vezes superior à da água. O motivo não dá nenhuma indicação da quantidade total de água e cimento utilizados, nem da quantidade de concreto que é fabricado. Podemos também dizer que a relação cimento/água é de 4:1, ou que a quantidade de água é um quarto (1/4) do cimento.

Os modelos mais antigos de televisores possuem telas (ecrãs) em que a razão entre a largura e a altura é de 4 para 3, ou seja, cuja altura equivale a três quartos da largura. As televisões widescreen modernas possuem uma razão de 16:9.

O conceito de razão é o método mais comum e prático para fazer uma comparação relativa entre duas ordens de grandeza. Ao dividir uma quantidade por outra, comparamos a primeira com a segunda, que é a base da comparação. Por exemplo, se a superfície de um retângulo é de 300 cm² e a superfície de outro retângulo é de 210 cm², se dermos a razão para estas superfícies, temos:

210/300 = 7/10 = 0,7

Calculamos o quanto a menor área representa a maior. Em outras palavras, a menor área representa 0,7 ou 70% da maior área. É uma comparação muito significativa e simples.

Para dois números reais a e b, onde b não é zero, a razão entre a e b é chamada de quociente a/b = k

Note que k é um número real. É por isso que chamamos o numerador que chamamos de predecessor e o denominador b (lemos “a é demasiado b”). A razão k indica o valor do número a em relação ao número b e o toma como uma unidade.

Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A relação entre a superfície construída e a superfície livre é a seguinte

A) 6/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1/10
E) 2/5

Solução: razão = área construída/área livre =1200/3000=2/5 (letra E)

Isso significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre.

Aplicando o Conceito de Razão

Escala

Quando comparamos os mapas com as posições que eles representam, representamos distâncias em uma escala menor do que a distância real. O conceito é dado pela seguinte razão:

Escala = medida no mapa/medida real (ambos na mesma unidade de medida)

Exemplo: a escala de implantação de um lote de 60 metros de comprimento foi representada por um segmento de 3 cm:

A) 1 : 10.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000
E) 1 : 4.000

Solução

Primeiro de tudo, vamos converter os 60 m em centímetros, para que possamos trabalhar no mesmo sistema:

60 m=60⋅100 cm=6000 cm60 m=60⋅100 cm=6000 cm

Então,

Escala = 3cm/6000cm = 1/2000 = 1 : 2000 3cm/6000cm = 1/2000 = 1 : 2000 (letra B)

Velocidade média

Esta é a relação entre a distância percorrida e a duração total da viagem. A velocidade média será sempre acompanhada por uma unidade, que depende das unidades selecionadas para o cálculo da distância e do tempo. Exemplos de unidades de velocidade média são km/h, m/s, cm/s, etc.

Velocidade média = distância percorrida/tempo total de percurso

Exemplo: A distância entre os municípios do Rio de Janeiro e São Paulo é de cerca de 400 km. Uma pessoa levou 5 horas de carro para cobrir esta rota. Determine a velocidade média.

Solução

Velocidade = distância percorrida/tempo total de percurso = 400km/5h distância percorrida/tempo total de percurso = 400km/5h = 80km/h

O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.

Densidade

A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir massa e volume. Alguns exemplos de unidades de densidade são g/cm³, kg/m³.

Densidade = massa/volume = m/v massa/volume = m/v

Exemplo: Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de volume. Sabemos que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³.  Determine a massa do óleo, em gramas.

Solução

Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.

Então,

densidade = massa/volume ⇒ 0,86 = m/1000 ⇒ m = 0,86 . 1000 = 860 g

Portanto, a massa do óleo presente na jarra é de 860 g.

Proporção

Nós chamamos a relação de igualdade de duas razões de proporção.

a1/b1 = a2/b2 = k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2),

onde a1, a2, b1, b2 são números reais, onde b1 e b2 diferem de zero. O número k é o que chamamos de constante do rácio (lemos “a1 é para b1 e a2 é para b2).

O predecessor da primeira razão (a1) e o sucessor da segunda razão (b2) são chamados extremos, enquanto o sucessor da primeira razão (b1) e o predecessor da segunda razão (a2) são chamados meios. Os nomes são sugestivos quando se olha para o segundo tipo de expressões proporcionais (a1:b1 :: a2:b2).

Propriedade fundamental da proporção


O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por:

a/b = c/d ⟺ bc = ad

Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:

Em virtude da demanda crescente de economia de água, há equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, de acordo com os dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).

Qual é a poupança diária de água ao substituir uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia em instalações sanitárias, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litros
b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros

Solução

Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Então,

15/60 = 6/x → 15x = 360 → x = 24litros

Portanto, a economia será de: 60 – 24 = 36 litros

Resposta: letra B


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