Exercícios Sobre Equação Exponencial [Matemática]

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Matemática

Para resolver os exercícios sobre equação exponencial, procure encontrar uma igualdade entre as potências de mesma base para que se igualem também os expoentes.

Exercício 1

Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial: 

Resposta


Exercício 2

Resolva a equação exponencial:

– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119

Resposta

Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =

Colocando o termo 5xem evidência, temos:

Portanto, a solução da equação exponencial – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119 é x = 1.


Exercício 3

Qual o valor de x na equação exponencial 

Resposta


Exercício 4

Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

Resposta

A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 228 = 23. Substituindo na equação:

23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2

Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
      4
|x| = ¾

Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.


Exercício 5

A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 7

Resposta

Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

22x + 1 2x + 42x + 2– 32
2x · 2x · 21– 2x · 24 = 2x · 2– 32

Façamos 2x = y:

y · y · 21– y · 24 = y · 2– 32
y2 · 21y · 16=y · 4– 32
2y216y – 4y + 32 = 0
2y– 20y + 32 = 0

Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.

y1 = 10 + 6
2y1 = 16
2y1 = 8
y2 = 10 – 6
2y2 = 4
2y2 = 2

Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício:

Para y1 = 82x = y
2x = 8
2x = 23
x1 = 3
Para y2 = 22x = y
2x = 2
2x = 21
x2 = 1

O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 x2 = 1, então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c


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