Área do Cilindro [Matemática]

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O cilindro trata-se de um corpo geométrico, em onde todos os segmentos de linha são paralelos, começando em qualquer plano de um círculo e terminando em outro plano paralelo ao primeiro plano. O cilindro ou cilindro circular é um corpo geométrico alongado e arredondado com o mesmo diâmetro em todo o seu comprimento.

Um cilindro é um objeto tridimensional com duas bases planas redondas e um lado curvo. Tem uma superfície curva no meio. A base e a superfície superior são idênticas. Isso significa que as bases são sempre paralelas e congruentes entre si. Não tem vértices.

Agora, se olharmos para esta figura com cuidado, vemos que há três faces do cilindro. Dois círculos e um retângulo. Um círculo está na base do cilindro e outro no topo. Ambos os círculos são do mesmo tamanho. A face retangular é a superfície curva do cilindro. Assim,

  • A área do círculo do cilindro é πr².
  • A área de dois círculos será de 2πr².
  • O raio ‘r’ de um cilindro é o raio de sua base. Agora, a área do retângulo = comprimento x largura. 2πr é a circunferência do círculo e h é a altura. Área da superfície curva será = 2πr × h = 2πrh

Então a área do cilindro será: 2πr² + 2πrh, ou

Área de Superfície Total do Cilindro = 2πr (r + h)

Onde r é o raio eh é a altura do cilindro (a distância entre as duas bases).

O Volume de um Cilindro

Suponha que se temos um cilindro de raio r e altura h, então o volume será,

V = πr²h

V é a quantidade de espaço ocupada pelo objeto tridimensional. Vamos ver um exemplo para descobrir o volume de um cilindro. Como sabemos, π = 3,14. Então, vamos encontrar o volume de um cilindro que tenha o raio de 3 cm e a altura de 5 cm. Agora,

V = πr²h 
= π (3²) 5 
= π (9) 5 
= ( 
3,14 ) (45) = 141,30 cm³

Na matemática, chamamos os cilindros de objetos tridimensionais, oblongos e redondos, com o mesmo diâmetro em todo o seu comprimento. Pode-se dizer que o cilindro também pode ser definido por uma área quadrada cuja função geradora é:

Quando o cilindro é circular, “a” e “b” têm o mesmo valor na equação acima. Cilindros circulares também podem ser chamados de cilindros equilaterais. Isso acontece quando a altura é igual ao diâmetro da base.

Chamamos de geratriz todos os segmentos retos que são paralelos ao eixo do cilindro e têm as extremidades nas bases.

Eixo é o segmento reto com as extremidades no meio da base do cilindro.

A altura de um cilindro circular é a distância entre os círculos planos das bases. Os cilindros podem ser retos, circulares ou obliquamente circulares. No primeiro caso, o eixo e as geratrizes são perpendiculares às bases e congruentes com sua altura. (FIGURA A) No segundo caso, o eixo e as geratrizes são oblíquos aos planos da base e não congruentes com sua altura. (FIGURA B)

Figura A
Figura B

Esta figura geométrica integra os estudos de geometria espacial e apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos.

O cálculo da superfície cilíndrica é semelhante ao cálculo da superfície do prisma.

Este cálculo é feito em três etapas: área de base, área lateral e soma das duas últimas. Antes de entrar em exemplos, é importante entender bem o que é um cilindro e algumas de suas características básicas. O resultado dessa configuração pode ser visto na figura a seguir:

À esquerda na figura está um cilindro da frente e do lado direito, o mesmo cilindro pode ser visto de cima. O cilindro consiste em dois círculos e o volume total entre esses círculos. O desenho do cilindro tem exatamente a forma de um retângulo ou paralelogramo quando o cilindro é oblíquo e duas circunferências.

Confira um exemplo de exercício de cálculo da área e volume do cilindro:

Quais São os Componentes do Cilindro?

  • Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.
  • Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior).
  • Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro.
  • Diretriz: corresponde à curva do plano da base.

Como os Cilindros São Classificados?

Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, o ângulo formado pela geratriz, os cilindros são divididos nas seguintes classes:

Cilindro reto: Para os cilindros retos, o gerador (altura) é perpendicular ao plano da base.

Cilindro oblíquo: Para cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) é oblíqua em relação ao plano da base.

O chamado “cilindro equilateral” ou “cilindro rotativo” é caracterizado pela mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g = 2r). Isso ocorre porque a seção do meridiano corresponde a um quadrado. Para ampliar seu conhecimento sobre esse tópico, veja outras figuras que fazem parte da geometria do espaço.

Quais São as Fórmulas do Cilindro?

Aqui estão as fórmulas para calcular superfícies e volumes de cilindros:

Áreas do Cilindro

Área da Base: A fórmula a seguir é usada para calcular a área da base do cilindro:

Ab = π.r2

Onde:

Ab: área da base
π (Pi): 3,14
r: raio

Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da superfície lateral, é utilizada a fórmula:

Al= 2 π.r.h

Onde:

Al: área lateral
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura

Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber:

At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)

Onde:

At: área total
Ab: área da base
Al: área lateral
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura

Volume do Cilindro

Calcula-se o volume do cilindro a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):

V = Ab.h ou V = π.r2.h

Onde:

V: volume
Ab: área da base
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura

Exemplos Resolvidos

1- Que comprimento de um cilindro sólido de 2 cm de diâmetro deve ser recolocado em um cilindro oco de diâmetro externo de 20 cm, 0,25 cm de espessura e 15 cm de comprimento?

a- 54,06 cm
b- 74,06 cm
c- 34,06 cm
d- 64,06 cm

Solução: B. O diâmetro do cilindro sólido = 2 cm ou o raio = 1 cm; altura h =?

1 = πr²h = π (1) ²h = πh

Para o cilindro oco, H = 15 cm; diâmetro externo = 20 cm ou raio externo = 10 cm. Portanto, diâmetro interno = 10-0,25 (espessura + = 9,75 cm. Portanto,

2 = π [10² – (9,75²)] × 15 = 15π × 19,75 × 0,25

Além disso, V 1 = V 2 , que dá 
h = 74,06 cm

2- Se a superfície lateral do cilindro for de 500 cm² e sua altura for de 10 cm, encontre o raio de sua base:

a – 7,96 m
b – 7,96 cm
c- 7,96 cm²
d – 9,61 cm²

Solução: B. A área da superfície lateral é A = 2πrh. A área de superfície curva é A = 500 cm² e sua altura é de 10 cm, portanto

A = 2πrh 
500 = 2 × 3,14 × 10 × 
500 = 62,8r 
r = 500 / 62,8 
= 7,96 
Portanto, o raio do cilindro é de 7,96 cm


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